Before Science, Let’s Revisit Arithmetic –continued fraction expansionー
This time, I wrote it in Japanese.
連分数展開で理解する √2 と √3
○ 連分数展開: √2
① √2 の連分数展開
まず,√2 を展開してみます。
√2 = 1 + (√2 – 1)
ここで,
√2 – 1 = 1 / (√2 + 1)
これを代入すると,
√2 = 1 + 1 / (√2 + 1)
さらに,
√2 + 1 = 2 + (√2 – 1)
また,
√2 – 1 = 1 / (√2 + 1)
よって,これを繰り返し代入すると,次の完全展開が得られます：
√2 = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + ⋯)))
つまり,連分数表記では：
√2 = [1; 2, 2, 2, 2, ⋯]
② √2 の近似計算例
連分数を途中で切ると良い近似値が得られます。
1段階目:
√2 ≈ 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
2段階目:
√2 ≈ 1 + 1/(2 + 1/2) = 1 + 1/(5/2) = 1 + 2/5 = 7/5 = 1.4
3段階目:
√2 ≈ 17/12 ≈ 1.41666
4段階目:
√2 ≈ 41/29 ≈ 1.41379
段階を進めるごとに、より精度の高い近似値が得られます。
○ √3 の連分数展開
整数部分を取り出す
√3 ≈ 1.732…
なので,最初の整数部分（a₀）は 1 です。
次のステップ
残りの部分は
√3 – 1
です。
これを有理化します：
√3 – 1 = ((√3 – 1)(√3 + 1)) / (√3 + 1) = (3 – 1) / (√3 + 1) = 2 / (√3 + 1)
さらに,
√3 + 1 = 1 + (√3 – 1)
ここから再度整数部分を抽出します。
√3 + 1 ≈ 2.732
なので,整数部分は 2 になります。
この繰り返しによってパターンが見えてきます：
√3 = [1; 1, 2, 1, 2, ⋯]
つまり,最初の整数部分は 1 で,その後「1, 2」の繰り返しになります。
実用：近似値として使う
連分数を中途で切り取ることで,√3 の良い近似値が得られます。
1段階目:
√3 ≈ 1 + 1/1 = 2
2段階目:
√3 ≈ 1 + 1/(1 + 1/2) = 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3 ≈ 1.666…
3段階目:
√3 ≈ 1.732…
段階を進めるごとにより高精度な近似が可能になります。
以上が,√2 および √3 の連分数展開とその近似計算の具体例です。 連分数は平方根の近似計算だけでなく,数の性質を深く理解する上でも非常に有用な道具です。
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